最近又碰到了坐标变换，发现已经忘了许多，在此在记录下。
常用的变换有: 平移,缩放,旋转。
平移
平移直接加即可 \(\begin{bmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{bmatrix}\) 其中$\Delta x,\Delta y,\Delta z$为b坐标轴在a坐标轴上的偏移。
缩放
缩放直接乘就好 \(\begin{bmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{bmatrix}\) 其中$ s_x,s_y,s_x$为b坐标轴在a坐标轴上的缩放倍数。
旋转
三维旋转可以分解为在三个不同的平面单独旋转:
-
在xy平面绕z轴逆时针旋转(heading或yaw)
![xy]()
此时: \(\begin{aligned} x_b = OC &= OB + BC \\ &= OB + AD \\ &= x_a * \cos\theta + y_a * \sin\theta \end{aligned}\)\(\begin{aligned} y_b = CP = OG &= OF - GF \\ &= OF - HE \\ &= y_a * \cos\theta - x_a * \sin\theta \end{aligned}\) 因此: \(\begin{bmatrix} x_b \\ y_b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x_a \\ y_a \end{bmatrix}\) 转成三维令旋转方向为顺时针($\theta=-\theta$)有: \(tr_{yaw} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
- 在zx平面绕y轴逆时针旋转(elevation或pitch)
![zx]()
与z轴旋转一致，把z轴当成x, x轴当成y轴,因此有: \(tr_{pitch} = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0& \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}\) - 在yz平面绕x轴逆时针旋转(bank或roll)
![yz]()
与z轴旋转一致，把y轴当成x, z轴当成y轴,因此有: \(tr_{roll} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \\ \end{bmatrix}\)
因此按ZYX顺序旋转得到的旋转矩阵为: \(\begin{aligned} Z_{1}Y_{2}X_{3} = R &= tr_{yaw} * tr_{pitch} * tr_{roll} \\ &= \begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}&s_{1}s_{3}+c_{1}c_{3}s_{2}\\c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}&c_{3}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}\\-s_{2}&c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix} \end{aligned}\) 同时旋转矩阵转欧拉角为: \(\begin{aligned} yaw &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{11}}}\right) \\ pitch &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{\sqrt {1-R_{31}^{2}}}}\right) \\ roll &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{33}}}\right)\end{aligned}\)